Ordered Covering Numbers

A page (queue) with respect to a vertex ordering of a graph is a set of edges such that no two edges cross (nest), i.e. have their endpoints ordered in an abab-pattern (abba-pattern). A union page (union queue) is a vertex-disjoint union of pages (queues). The page number (queue number, union page number, union queue number) of a graph is the smallest k such that there is a vertex ordering and a partition of the edges into k pages (queues, union pages, union queues). The local page number (local queue number) is the smallest k for which there is a vertex ordering and a partition into pages (queues) such that each vertex has incident edges in at most k pages (queues). For directed acyclic graphs, we additionally require all edges to point into the same direction with respect to the vertex ordering, i.e. from a smaller vertex to a larger vertex. The track number of a graph is the smallest k such that there is a partition of the vertices into independent sets, each having a vertex ordering, such that any two edges with endpoints into the same two independent sets do not cross. We show for a complete graph on n vertices that the local page number is n/3 + Θ(1), that the union page number is upper-bounded by 4n/9 + Θ(1), and that both the local queue number and the union queue number are (1 − 1/ √ 2)n + Θ(1). In addition, we show that there is a graph with treewidth 2 and track number at least 7 and that there is a poset whose cover graph has page number at least 5. Eine Page (Queue) ist bezüglich einer Knotenordnung eines Graphen definiert als eine Menge von Kanten, in der sich je zwei Kanten nicht kreuzen (nicht verschachtelt sind), d.h. die Endpunkte sind nicht in der Reihenfolge abab (abba) angeordnet. Eine Union Page (Union Queue) ist eine Vereinigung aus paarweise knotendisjunkten Pages (Queues). Die Page Number (Queue Number, Union Page Number, Union Queue Number) ist definiert als das kleinste k, für das es eine Knotenordnung gibt, die eine Partitionierung der Kanten in k Pages (Queues, Union Pages, Union Queues) ermöglicht. Die Local Page Number (Local Queue Number) ist das kleinste k, für das es eine Knotenordnung gibt, sodass die Kanten so in Pages (Queues) partitioniert werden können, dass jeder Knoten in höchstens k der Pages (Queues) inzidente Kanten hat. Für gerichtete azyklische Graphen fordern wir zusätzlich, dass alle Kanten bezüglich der Knotenordnung in die gleiche Richtung zeigen, d.h. von einem kleineren zu einem größeren Knoten. Die Track Number eines Graphen ist das kleinste k, für das es eine Knotenpartitionierung in unabhängige Mengen mit jeweils einer Knotenordnung gibt, sodass sich je zwei Kanten mit Endpunkten in den gleichen zwei Mengen nicht kreuzen. Wir zeigen, dass die Local Page Number vollständiger Graphen mit n Knoten n/3+Θ(1) ist, dass die Union Page Number höchstens 4n/9+Θ(1) und dass sowohl die Local Queue Number als auch die Union Queue Number gleich (1− 1/ √ 2)n+Θ(1) sind. Wir zeigen außerdem die Existenz eines Graphen mit Baumweite 2 und Track Number 7 und eines Posets, dessen Cover Graph mindestens Page Number 5 hat.