由长方形和长方体所产生的不定方程问题

1 问题的提出 人们日常生活中经常遇到或用到长方形,对长方形十分熟悉,但对长方形所引申出来的一些问题,并不一定进行过深入的思考.如是否存在整边长方形,以其对角线为边长的正方形面积恰是长方形面积的整数倍,且该长方形总可以割并成两个整边正方形?若存在,有多少个这样的长方形?以其对角线为边长的正方形面积是长方形面积的多少倍?类似地,对于长方体也存在相似的问题,是否存在棱长为整数的长方体,以其对角线为边长的正方形面积恰是体积的整数倍,且该长方体的每一个表面总可以割并成两个整边正方形?若存在,有多少个这样的长方体?以其对角线为边长的正方形面积是体积的多少倍?本文将对以上提出的这两个问题进行深入的分析、讨论,证明了所涉及的整数不定方程的解的存在条件,证明方法新颖,结论合理.