学得浅碎不如无 ——四元数、矢量分析与线性代数关系剖析

四元数是哈密顿对二元数,即复数,的推广,其成功开启了近世代数的大门.哈密顿将四元数的纯虚部称为vector,汉译矢量.由三维世界矢量的四元数乘积引入了点乘和叉乘的概念.麦克斯韦从泰特那里学会了四元数,针对微分矢量运算发明了散度和旋度的概念,三分量的普通四元数世界矢量被麦克斯韦和亥维赛德用于电磁学的表述,于是有了我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式,吉布斯和亥维赛德由此各自独立地发展出了矢量分析.矢量分析是对严谨的四元数代数的实用主义裁剪,用处是明显的,危害也是巨大的.乱糟糟的?点乘-叉乘让电-动力学成为大多数物理类学生的噩梦.泰特为捍卫四元数进行了艰苦卓绝的斗争,但结果还是矢量分析大行其道.哈密顿追求建立一般的多重代数,吉布斯试图将三维矢量分析推广,加上格拉斯曼创立的线性展开的学问以及佩尔斯创立的线性结合代数,于是有了线性代数.差不多同时期诞生的矩阵理论、格拉斯曼代数和克利福德代数同它们都有亲密的内在联系,也都是物理表述的数学基础.弄清楚四元数、矢量分析和线性代数背后的代数学知识和相互间的关系,普通物理教科书中的数学表述可能就不那么令人迷惑了,也能理解为什么电-动力学里的矢量叉乘又叉乘怎么在量子力学里——据说波函数也是矢量——咋就不见了.顺便说一句,矢量之所以是矢量在于它所遵循的代数结构,它无需有方向、甚至也可以没有长度.