On a natural correspondence between bases and reorientations, related to the tutte polynomial and linear programming, in graphs, hyperplane arrangements, and oriented matroids

A comparison of two expressions of the Tutte polynomial of an ordered oriented matroid yields remarkable numerical relations between the numbers of bases and reorientations with given activities. We address here the bijection problem for these relations, by constructing a natural activity preserving correspondence with suitable multiplicities between bases and reorientations, called the canonical active (basis-reorientation) correspondence. A decomposition of activities is used, reducing the problem to situations with one activity equal to 1 and the other equal to 0. This decomposition is closely related to a new expression of the Tutte polynomial in terms of beta invariants of minors. This canonical active correspondence has strong duality properties, and can be constructed inductively using minors with respect to the greatest element. Furthermore, it can be refined into an active bijection between all subsets of elements, inducing an active bijection between faces of the NBC complex of the matroid and regions of the oriented matroid. In the graphical case, we get active bijections between spanning trees and activity classes of orientations, resp. acyclic orientations with a unique sink at a given vertex, resp. acyclic orientations with adjacent unique source and unique sink at given vertices. For the regions of an hyperplane arrangement, we get an active bijection between certain simplices and activity classes of regions. Its restriction to simplices with (1,0)-activities and bounded regions is a bijection. If the hyperplanes are in general position, the bijection can be obtained by maximizing or minimizing a same linear function over all bounded regions. In general, we get extensions of linear and oriented matroid programming: each reorientation is decomposed into bounded regions, and for each bounded region, instead of optimizing a face with respect to one objective function, we optimize a sequence of nested faces with respect to a sequence of objective functions. Résumé. Une comparaison de deux expressions du polynôme de Tutte d’un matröıde orienté ordonné fournit des relations numériques remarquables entre les nombres de bases et de réorientations d’activités données. On résoud ici le problème d’une bijection pour ces relations, en construisant une correspondance naturelle, préservant les activités, avec des multiplicités convenables, entre les bases et les réorientations, appelée correspondance (bases-réorientations) active canonique. On utilise une décomposition des activités pour réduire le problème à des situations où une activité est égale à 1 et l’autre à 0. Cette décomposition est étroitement liée à une nouvelle expression du polynôme de Tutte en termes d’invariants béta des mineurs. La correspondance active canonique a de fortes propriétés de dualité, et peut être construite inductivement en utilisant les mineurs relativement au plus grand élément. De plus, on peut la raffiner en une bijection active entre tous les sous-ensembles d’éléments, induisant une bijection active entre les faces du complexe NBC du matröıde et les régions du matröıde orienté. Dans le cas graphique, on obtient des bijections actives entre les arbres couvrants et les classes d’activités d’orientations resp. les orientations acycliques avec un unique puits fixé, ou les orientations acycliques avec une unique source et un unique puits adjacents fixés. Pour les régions d’un arrangement d’hyperplans, on obtient une bijection active entre certains simplexes et des classes d’activités de régions. Sa restriction aux simplexes d’activités (1,0) et aux régions bornées est une bijection. Si les hyperplans sont en position générale, cette bijection s’obtient en maximisant ou minimisant une même forme linéaire pour toutes les régions bornées. En général, on obtient des extensions de la programmation linéaire et de la programmation dans les matröıdes orientés: chaque réorientation est décomposée en régions bornées, et pour chaque région bornée, au lieu d’optimiser une face pour une fonction objective on optimise une suite de faces embôıtées relativement à une suite de fonctions objectives.