Breaking the continuity of a piecewise linear map

Knowledge about the behavior of discontinuous piecewise-linear maps is important for a wide range of applications. An efficient way to investigate the bifurcation structure in 2D parameter spaces of such maps is to detect specific codimension-2 bifurcation points, called organizing centers, and to describe the bifurcation structure in their neighborhood. In this work, we present the organizing centers in the 1D discontinuous piecewise-linear map in the generic form, which can be used as a normal form for these bifurcations in other 1D discontinuous maps with one discontinuity. These organizing centers appear when the continuity of the system function is broken in a fixed point. The type of an organizing center depends on the slopes of the piecewise-linear map. The organizing centers that occur if the slopes have an absolute value smaller than one were already described in previous works, so we concentrate on presenting the organizing centers that occur if one or both slopes have absolute values larger than one. By doing this, we also show that the behavior for each organizing center can be explained using four basic bifurcation scenarios: the period incrementing and the period adding scenarios in the periodic domain, as well as the bandcount incrementing and the bandcount adding scenarios in the chaotic domain. Les connaissances sur le comportement d’applications linéaires par morceaux discontinues sont importantes pour de nombreuses applications. Une méthode puissante pour étudier la structure de bifurcation dans les espaces de paramètre 2D de telles applications est de détecter des points de bifurcation spécifiques de codimension 2, appelés centres organisateurs, et de décrire la structure de bifurcation dans leur voisinage. Dans ce travail, nous présentons les centres organisateurs pour une application linéaire par morceaux discontinue 1D sous forme générique, ce qui peut être utilisé comme une forme normale pour ces bifurcations d’autres applications discontinues 1D avec une discontinuité. Ces centres organisateurs apparaissent lorsque la continuité de la fonction du système est brisée en un point fixe. Le type d’un centre organisateur dépend des pentes de l’application linéaire par morceaux. Les centres organisateurs qui se produisent lorsque les pentes ont une valeur absolue plus petite que un ont déjà été décrits dans des travaux précédents, et nous nous concentrons donc sur la présentation des centres organisateurs qui se produisent si une ou plusieurs pentes ont des valeurs absolues plus grandes que un. Par là même, nous montrons également que le comportement de chaque centre organisateur peut être expliqué en utilisant quatre scénarios élémentaires de bifurcation : les scénarios d’incrément de période et d’addition de période en domaine périodique, et les scénarios d’incrément de bandcount et d’addition de bandcount en domaine chaotique.